Question

【题目】如图，在边长为的菱形中，，与交于点，将沿直线折起到的位置（点不与，两点重合）.

（1）求证：不论折起到何位置，都有平面；

（2）当平面时，点是线段上的一个动点，若与平面所成的角为，求的值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）或.

【解析】

（1）由线面垂直的判定定理，即可证明平面；

（2）用空间向量的方法，以，，的方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，设，用表示出直线与平面所成角的余弦值，再由与平面所成的角为，即可求出结果.

（1）证明：因为四边形是菱形，所以.

因为，点是的中点，

所以.

又因为平面，平面，，

所以平面.

（2）解：以，，的方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示.

易知，，，

则点，，，

所以，.

设，则.

所以.

设平面的一个法向量为，则

由得解得

令，得平面的一个法向量为，

所以，

解得.

故所求的值为或.