Question

（普通文科做）如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA₁=2，E、E₁分别是棱AD，AA₁的中点，F为AB的中点．求：
（1）点D到平面EE₁C的距离；
（2）求三棱锥E₁-FCC₁的体积

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D到平面EE₁C的距离．
（2）由题意得CC₁⊥CF，CC₁=CF=2，从而S△CC1F=

1

2

×2×2=2，E₁到平面FCC₁的距离h=

| E1C • m |

| m |

=

| 3 |

1

=

3

，由此能求出三棱锥E₁-FCC₁的体积．

解答： 解：（1）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，
DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
由已知得D（0，0，0），E（1，0，0），
E₁（2，0，1），C（-1，

3

，0），

EE1

=（1，0，1），

EC

=（-2，

3

，0），
设平面EE₁C的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • EE1 =x+z=0 n • EC =-2x+ 3 y=0

，
取x=

3

，得

n

=（

3

，2，-

3

），

DE

=（1，0，0），
∴点D到平面EE₁C的距离：
d=

| DE • n |

| n |

=

3

4+3

=

21

7

．
（2）由题意得CC₁⊥CF，CC₁=CF=2，
∴S△CC1F=

1

2

×2×2=2，
∵平面CC₁F∥平面DAA₁D₁，
∴平面CC₁F的法向量

m

=（0，1，0），
∵

E1C

=（-3，

3

，-1），
∴E₁到平面FCC₁的距离h=

| E1C • m |

| m |

=

| 3 |

1

=

3

，
∴三棱锥E₁-FCC₁的体积V=

1

3

S△CC1F•h=

1

3

×2×

3

=

2 3

3

．

点评：本题考查点到直线的距离的求法，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．