Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=2，AA₁=4．点M，N分别是AA₁，AB的中点，则异面直线CM与D₁N所成角的余弦值为

 

．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：计算题,空间向量及应用

分析：以B为坐标原点，BA，BC，BB₁所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出点C，M，N，D₁，再求向量CM，D₁N的坐标，再由向量夹角公式，计算即可得到．

解答： 解：以B为坐标原点，BA，BC，BB₁所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，
则C（0，2，0），M（2，0，2），N（1，0，0），D₁（2，2，4），

CM

=（2，-2，2），

D1N

=（-1，-2，-4），
则有cos＜

CM

，

D1N

＞=

CM • D1N

| CM |•| D1N |

=

-2+4-8

4+4+4 • 1+4+16

=-

7

7

．
则直线CM与D₁N所成角的余弦值为

7

7

．
故答案为：

7

7

．

点评：本题考查空间异面直线所成的角的大小，考查运用向量法解题，考查运算能力，属于基础题．