Question

已知曲线C：

x2

4

+

y2

9

=1，直线l：

x=2+t y=2-2t

（t为参数）
（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

Answer 1

考点：直线的参数方程,三角函数的最值

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）由平方关系和曲线C方程写出曲线C的参数方程，消去参数t即可得直线l的普通方程；
（2）由曲线C的参数方程设曲线C上任意一点P的坐标，利用点到直线的距离公式求出点P直线l的距离，利用正弦函数求出|PA|，利用辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质求出|PA|的最大值与最小值．

解答： 解：（1）由题意得，曲线C：

x2

4

+

y2

9

=1，
所以曲线C的参数方程为

x=2cosθ y=3sinθ

（θ为参数），
因为直线l：

x=2+t y=2-2t

（t为参数），
所以直线l的普通方程为2x+y-6=0                …（5分）
（2）曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ），
则点P直线l的距离为d=

|4cosθ+3sinθ-6|

5

=

5 |4cosθ+3sinθ-6|

5

，
则|PA|=

d

sin30°

=

2 5

5

|4cosθ+3sinθ-6|=

2 5

5

|5sin（θ+α）-6|（其中α为锐角且tanα=

4

3

），
当sin（θ+α）=-1时，|PA|取得最大值，最大值为

22 5

5

，
当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为

2 5

5

   …（10分）

点评：本题考查参数方程与普通方程互化，点到直线的距离公式，以及辅助角公式、正弦函数的性质等，比较综合，熟练掌握公式是解题的关键．