Question

若正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）ABC-A₁B₁C₁的所有顶点都在球O的球面上，AB=3，AA₁=2，则球O的体积为

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离,球

分析：根据对称性，可得球心O到正三棱柱的底面的距离为1，球心O在底面ABC上的射影为底面的中心O'，求出O'A，由球的截面的性质，求得半径OA，再由球的体积公式，计算即可得到．

解答： 解：根据对称性，可得球心O到正三棱柱的底面的距离为1，
球心O在底面ABC上的射影为底面的中心O'，
则O'A=

3

2

×

2

3

×3=

3

，
由球的截面的性质，可得，OA²=OO'²+O'A²，
则有OA=

OO′2+O′A2

=

1+3

=2，
则球O的体积为

4

3

π•OA³=

32

3

π．
故答案为：

32π

3

点评：本题考查球的截面的性质，考查球与正三棱柱的关系，考查球的体积运算，属于中档题．