Question

已知圆C经过点A（-2，0），B（0，2），且圆心C在直线y=x上，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．
（1）求圆C的方程；
（2）若

OP

•

OQ

=-2，求实数k的值；
（3）过点（0，4）作动直线m交圆C于E，F两点．试问：在以EF为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P，使得圆P经过点M（2，0）？若存在，求出圆P的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设圆心C（a，a），半径为r．|AC|=|BC|=r，由此能求出圆C的方程．
（2）由

OP

•

OQ

=2×2×cos＜

OP

，

OQ

＞=-2，得∠POQ=120°，圆心C到直线l：kx-y+1=0的距离d=1，由此能求出k=0．
（3）当直线m的斜率不存在时，圆C也是满足题意的圆；当直线m的斜率存在时，设直线m：y=kx+4，由

x2+y2=4 y=kx+4

，得（1+k²）x²+8kx+12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出在以EF为直径的所有圆中，存在圆P：5x²+5y²-16x-8y+12=0或x²+y²=4，使得圆P经过点M（2，0）．

解答： 解：（1）设圆心C（a，a），半径为r．
因为圆C经过点A（-2，0），B（0，2），
所以|AC|=|BC|=r，
即

(a+2)2+a2 =r a2+(a-2)2 =r

，
解得a=0，r=2，
所以圆C的方程是x²+y²=4．…（3分）
（2）因为

OP

•

OQ

=2×2×cos＜

OP

，

OQ

＞=-2，
且

OP

与

OQ

的夹角为∠POQ，
所以cos∠POQ=-

1

2

，∠POQ=120°，
所以圆心C到直线l：kx-y+1=0的距离d=1，
又d=

1

k2+1

，所以k=0．…（7分）
（3）（ⅰ）当直线m的斜率不存在时，
直线m经过圆C的圆心C，
此时直线m与圆C的交点为E（0，2），F（0，-2），
EF即为圆C的直径，而点M（2，0）在圆C上，
即圆C也是满足题意的圆．…（8分）
（ⅱ）当直线m的斜率存在时，设直线m：y=kx+4，
由

x2+y2=4 y=kx+4

，消去y整理，得（1+k²）x²+8kx+12=0，
由△=64k²-48（1+k²）＞0，得k＞

3

或k＜-

3

．
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
则有

x1+x2=- 8k 1+k2 x1x2= 12 1+k2

①…（9分）
由①得y1y2=(kx1+4)(kx2+4)=k2x1x2+4k(x1+x2)+16=

16-4k2

1+k2

，②y1+y2=kx1+4+kx2+4=k(x1+x2)+8=

8

1+k2

，③
若存在以EF为直径的圆P经过点M（2，0），则ME⊥MF，
所以

ME

•

MF

=0，
因此（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，
即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=0，…（10分）
则

12

1+k2

+

16k

1+k2

+4+

16-4k2

1+k2

=0，
所以16k+32=0，k=-2，满足题意．…（12分）
此时以EF为直径的圆的方程为x²+y²-（x₁+x₂）x-（y₁+y₂）y+x₁x₂+y₁y₂=0，
即x2+y2-

16

5

x-

8

5

y+

12

5

=0，
亦即5x²+5y²-16x-8y+12=0．…（13分）
综上，在以EF为直径的所有圆中，
存在圆P：5x²+5y²-16x-8y+12=0或x²+y²=4，使得圆P经过点M（2，0）． …（14分）

点评：本题考查圆的方程的求法，考查实数k的值的求法，考查在以EF为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P，使得圆P经过点M（2，0）的判断与求法，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．