Question

已知f（x）=axe^kx-1，g（x）=lnx+kx．
（Ⅰ）求g（x）的单调区间；
（Ⅱ）若k≠1，f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后分k≥0和k＜0分类求解原函数的单调期间；
（Ⅱ）构造函数h（x）=f（x）-g（x）=axe^kx-lnx-kx-1（x＞0），求导后令u（x）=a•ekx-

1

x

，然后分a≤0和a＞0分析u′（x）的符号，然后求出函数h（x）的最小值，则a的范围可求．

解答： 解：（Ⅰ）g（x）=lnx+kx，g′(x)=

1

x

+k（x＞0），
当k≥0时，g′（x）＞0，函数g（x）在（0，+∞）上为增函数；
当k＜0时，g′(x)=

1+kx

x

，由1+kx＞0，得x＜-

1

k

．
∴当x∈（-∞，-

1

k

）时，函数g（x）单调递增；当x∈（-

1

k

，+∞）时，函数g（x）单调递减；
（Ⅱ）设h（x）=f（x）-g（x）=axe^kx-lnx-kx-1（x＞0），
∴h′（x）=a•ekx+akx•ekx-

1

x

-k=a•ekx(kx+1)-

kx+1

x

=(kx+1)(a•ekx-

1

x

)．
设u（x）=a•ekx-

1

x

．
①当a≤0时，a•ekx-

1

x

＜0，h（x）在（0，+∞）上单调递减，h（x）＞0不恒成立；
②当a＞0时，u′(x)=ak•ekx+

1

x2

＞0，
则u（x）在（0，+∞）上为增函数．
u（x）的函数值由负到正，必有x₀∈（0，+∞），使u（x₀）=0．
即a•ekx0=

1

x0

，两边取对数得：lna+kx₀=-lnx₀．
h（x）在（0，x₀）上为减函数，在（x₀，+∞）上为增函数．
h(x)min=h(x0)=ax0ekx0-1-lnx0-kx0=1-1-lnx₀-kx₀=lna．
∴lna＞0，即a∈（1，+∞）．

点评：本题考查了函数单调性的性质，考查了导数的应用，参数范围的求法，是一道综合性较强的题目．