Question

⊙O₁，⊙O₂相交于A，B，⊙O₂过⊙O₁的圆心O₁点．
（1）如图1，过A做⊙O₁的一条直径AC，连接CB并延长交⊙O₂于点D，连接DO₁，求证：DO₁⊥AC；
（2）如图2，过A做⊙O₁的一条非直径的弦AC，连接CB并延长交⊙O₂于点D，则DO₁与AC还垂直吗？请证明你的结论

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：（1）连接AB，根据直径所对的圆周角是直角，得∠ABC为直角，根据同弧所对的圆周角相等，可得∠D=∠A，进而可证得∠DO₁C也为直角，即DO₁⊥AC；
（2）连接AO₂，并延长交圆于E，连接CD，AB，类比（1）中证法，可得DO₁与AC还垂直．

解答： 证明：（1）连接AB，如图所示：

∵AC是⊙O₁的一条直径，
∴∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，
又∵⊙O₂中，∠D和∠A所夹的弧均为

O1B

，故∠D=∠A，
∴∠D+∠C=90°，
∴∠DO₁C=90°，
∴DO₁⊥AC；
（2）连接AO₁，并延长交圆于E，连接BE，AB，

∵AE是⊙O₁的一条直径，
∴∠ABE=90°，
∴∠A+∠E=90°，
又∵⊙O₂中，∠D和∠A所夹的弧均为

O1B

，故∠D=∠A，
∴∠D+∠E=90°，
又∵⊙O₁中，∠C和∠E所夹的弧均为

AB

，故∠C=∠E，
∴∠D+∠C=90°，
∴DO₁⊥AC；

点评：本题考查的知识点是圆周角定理，线段的垂直关系，难度不大，属于基础题．