Question

求下列函数的驻点、极值点和对应的极值，有条件时用计算机或计算器作图对照．
（1）f（x）=2x²-6x+1；
（2）g（x）=cosx+

x

2

；
（3）f（x）=2x³+3x²+6x-7；
（4）h（x）=x²e^x．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,导数的运算

专题：计算题,作图题,导数的综合应用

分析：对四个函数依次求导并令导数为0，从而解出函数的驻点，再检验驻点附近导数的正负，从而确定是不是极值点，再求极值．

解答： 解：（1）∵f（x）=2x²-6x+1，
∴令f′（x）=4x-6=0解得，
x=

3

2

，
故x=

3

2

为函数的驻点，
又∵在x=

3

2

附近，左侧f′（x）＜0，右侧f′（x）＞0；
∴x=

3

2

是函数的极小值点，极小值为f（

3

2

）=-

7

2

；
如下图，

（2）∵g（x）=cosx+

x

2

，
∴令g′（x）=-sinx+

1

2

=0，
故x=2kπ+

π

6

和x=2kπ+

5π

6

，（k∈Z）是函数的驻点，
且判断x=2kπ+

π

6

和x=2kπ+

5π

6

（k∈Z）是函数的也是函数的极值点，
当x=2kπ+

π

6

时有极大值g（2kπ+

π

6

）=

3

2

+kπ+

π

12

，（k∈Z）；
当x=2kπ+

5π

6

时有极小值g（2kπ+

5π

6

）=-

3

2

+kπ+

5π

12

，（k∈Z）；
如下图，

（3）f′（x）=6x²+6x+6=6[（x+

1

2

）²+

3

4

]＞0，
故函数没有驻点，极值点；
如下图，

（4）令h′（x）=x²e^x+2xe^x=（2x+x²）e^x=0解得，
x=0或x=-2；
故x=0和x=-2是函数的驻点，
且易知x=0和x=-2分别是函数的极小值点与极大值点；
极小值h（0）=0，极大值h（-2）=

4

e2

．
如下图，

点评：本题考查了导数的综合应用及学生作图的能力，属于难题．