Question

双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左右两支都相交的充要条件是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设直线方程为：y=k（x-c）代入双曲线方程得：（b²-a²k²）x²+2a²k²cx-a²k²c²-a²b²=0，方程有两根，x₁•x₂=（-a²k²c²-a²b²）÷（b²-a²k²）＜0，因-a²k²c²-a²b²必定小于0，故只需：b²-a²k²＞0即可，由此能求出结果．

解答： 解：由题意可设直线方程为：y=k（x-c）代入双曲线方程得：
（b²-a²k²）x²+2a²k²cx-a²k²c²-a²b²=0，方程有两根，可设为x₁＞0，x₂＜0：
x₁•x₂=（-a²k²c²-a²b²）÷（b²-a²k²）＜0，
因-a²k²c²-a²b²必定小于0，故只需：b²-a²k²＞0即可，
b²-a²k²=c²-a²-a²k²=a²e²-a²-a²k²=a²（e²-1-k²）＞0
e²-1-k²＞0，
即e²-k²＞1．
反之当e²-k²＞1时，直线l与双曲线C的左右两支都相交，
故直线l与双曲线C的左右两支都相交的充要条件是e²-k²＞1，
故答案为：e²-k²＞1．

点评：本题考查必要条件、充分条件、充要条件的判断和应用，解题时要认真审题，注意双曲线的性质的灵活运用．