Question

已知⊙O：x²+y²=1，直线l：y=k（x-2）与⊙O交于A、B两点，设A、B的中点为M，则点M的轨迹形成的曲线长度为

 

．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：直线与圆

分析：联立直线方程和圆的方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及中点坐标公式得到点M的轨迹，再由圆的周长得答案．

解答： 解：联立

x2+y2=1 y=k(x-2)

，消去y得：（1+k²）x²-4k²x+4k²-1=0．
由△=（-4k²）²-4（1+k²）（4k²-1）=4-12k²＞0，得-

3

3

＜k＜

3

3

．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），
则x=

x1+x2

2

=

2k2

1+k2

，
y=k(x-2)=k(

2k2

1+k2

-2)=

-2k

1+k2

．
消去k得：x²+y²=2x，即（x-1）²+y²=1．
则点M的轨迹是以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，其长度为2π．
故答案为：2π．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，考查了消参法求曲线的轨迹方程，是中档题．