Question

已知函数f（x）=x-alnx（a∈R），
（1）当a＜0时，若f（x）在[1，e]上的最大值与最小值之和为2+e，求实数a值；
（2）令h（x）=f（x）-

a-1

x

，讨论h（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）先研究函数的单调性，然后确定最值列出方程即可求出a的值；
（2）对函数h（x）求导数，然后利用分类讨论的思想解不等式即可．

解答： 解：（1）由已知f′(x)=1-

a

x

=

x-a

x

，因为a＜0，所以当x＞0时，f′（x）＞0，即原函数在（0，+∞）上递增．
则f（x）在[1，e]递增，故f（x）_min=f（1）=1，f（x）_max=f（e）=e-a．所以1+e-a=2+e，解得a=-1．
（2）h（x）=x-alnx-

a-1

x

，定义域为（0，+∞）．
所以h′(x)=1-

a

x

+

a-1

x2

=

x2-ax+(a-1)

x2

．
因为x²＞0，所以令g（x）=x²-ax+（a-1）=[x-（a-1）]（x-1）．
①当a-1≤0时，在（a-1，1）上，g（x）＜0，在（1，+∞）上，g（x）＞0，所以原函数h（x）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增；
②当0＜a-1≤1时，在（0，a-1）上，g（x）＞0，在（a-1，1）上，g（x）＜0，在（1，+∞）上，g（x）＞0．
故原函数h（x）在（0，a-1）上递增，在（a-1，1）上递减，在（1，+∞）上递增．
③当a-1＞1时，在（0，1）上g（x）＞0，在（1，a-1）上g（x）＜0，在（a-1，+∞）上g（x）＞0．
故原函数h（x）在（0，1）上递增，在（1，a-1）上递减，在（a-1，+∞）上递增．

点评：本题考查了利用导数如何研究函数的单调性．一般要先研究函数的定义域，然后利用导数大于0或小于零列不等式，含有参数的要注意分类讨论．