Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的左、右焦点为F₁、F₂，椭圆上一个动点P满足|

PF1

|+|

PF2

|=4，|

F1F2

|=2

3

．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在过定点（0，2）的直线l与椭圆交于不同的A、B，∠AOB=

π

2

，若存在，求出直线方程；若不存在，说明理由；
（3）由（2）问中，若∠AOB为锐角，求直线的斜率范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知得

2a=4 2c=2 3 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆方程．
（2）存在经过定点（0，2）的直线l与椭圆C交于A、B两点并且满足∠AOB=

π

2

，设直线l为y=kx+2，把y=kx+2代入

x2

4

+y2=1，得（4k²+1）x²+16kx+12=0，由此利用韦达定理结合已知条件能求出直线l的方程．
（3）设直线l为y=kx+2，把y=kx+2代入

x2

4

+y2=1，得（4k²+1）x²+16kx+12=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由∠AOB是锐角，得x₁x₂+y₁y₂＞0，由此利用韦达定理能求出直线的斜率范围．

解答： 解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1的左、右焦点为F₁、F₂，
椭圆上一个动点P满足|

PF1

|+|

PF2

|=4，|

F1F2

|=2

3

，
∴

2a=4 2c=2 3 a2=b2+c2

，
解得a=2，b=1，
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1．
（2）存在经过定点（0，2）的直线l与椭圆C交于A、B两点并且满足∠AOB=

π

2

，
设直线l为y=kx+2，把y=kx+2代入

x2

4

+y2=1，
并整理，得（4k²+1）x²+16kx+12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

16k

4k2+1

，x1x2=

12

4k2+1

，
y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=4-

20k2

4k2+1

，
∵∠AOB=

π

2

，∴

OA

2+

OB

2=

AB

2，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

12

4k2+1

+4-

20k2

4k2+1

=0，
解得k=±2，
∴直线l为y=2x+2或y=-2x+2．
（3）解：设直线l为y=kx+2，把y=kx+2代入

x2

4

+y2=1，
并整理，得（4k²+1）x²+16kx+12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-

16k

4k2+1

，x1x2=

12

4k2+1

，
y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4=4-

20k2

4k2+1

，
∵∠AOB是锐角，∴x₁x₂+y₁y₂＞0，
∴

12

4k2+1

+4-

20k2

4k2+1

＞0，
解得-2＜k＜2，
∴直线的斜率范围是（-2，2）．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线的斜率的求法，解题时要注意韦达定理的合理运用．