Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

1

2

a_n²-a_n+2．求证：1≤a_n＜2．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：用数学归纳法进行证明即可．

解答： 解：①当n=1时，a₁=1，满足1≤a_n＜2，
当n=2时，a₂=

1

2

a₁²-a₁+2=

3

2

，满足1≤a_n＜2．
②假设当n=k时，不等式1≤a_k＜2成立，
则当n=k+1时，a_k+1=

1

2

a_k²-a_k+2=

1

2

（a_k-1）²+

3

2

．
∵1≤a_k＜2，
∴

3

2

≤a_k+1＜2，满足1≤a_k+1＜2，
由①②可知，对任意的n∈N^•，
不等式1≤a_n＜2．恒成立．

点评：本题主要考查数列和不等式的应用，利用数学归纳法是解决本题的关键．