Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，点D是棱B₁C₁的中点，
(1)求证：A₁D⊥平面BB₁C₁C；
(2)求证：AB₁∥平面A₁DC；
(3)求二面角D-A₁C-A的余弦值。

Answer 1

解：(1)因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形， 所以AA1⊥AC，AA1⊥AB， 所以AA1⊥平面ABC， 所以三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱， 又因为A1D平面A1B1C1， 所以CC1⊥A1D， 又易知A1B1=A1C1，D为B1C1的中点， 所以A1D⊥B1C1， 因为CC1∩B1C1=C1， 所以A1D⊥平面BB1C1C．
(2)连接AC1，交A1C于点O，连接OD，如图， 因为四边形ACC1A1为正方形，所以O为AC1的中点， 又D为B1C1的中点， 所以OD为△AB1C1的中位线， 所以AB1∥OD， 因为OD平面A1DC，AB1平面A1DC， 所以AB1∥平面A1DC。 (3)因为侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°， 所以AB，AC，AA1两两互相垂直，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz， 设AB=1，则C(0，1，0)，B(1，0，0)，A1(0，0，1)，， ， 设平面A1DC的一个法向量为n=(x，y，z)， 则，即， 取x=1，得n=(1，-1，-1)， 又因为AB⊥平面ACC1A1， 所以平面ACC1A1的一个法向量为， ， 因为二面角D-A1C-A是钝二面角， 所以，二面角D-A1C-A的余弦值为。