Question

【题目】在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=AC=AA1= ，BC=4，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O．

（1）证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出AE的长；
（2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，因为AA1∥BB1，所以OE⊥BB1，

因为A1O⊥平面ABC，所以BC⊥平面AA1O，所以BC⊥OE，

所以OE⊥平面BB1C1C，

又AO= =1，AA1= ，

得OE= = = ，

则AE= =

（2）解：如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则A（1，0，0），B（0，2，0），C（0，﹣2，0），A1（0，0，2）

由 ，得点E得坐标是（ ），

设平面A1B1C的法向量是 =（x，y，z），由 得

令y=1，得x=2，z=﹣1，所以 =（2，1，﹣1），

所以cos＜ ， ＞= =

即平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值为 ．

【解析】（1）连接AO，在△AOA1中，作OE⊥AA1于点E，则E为所求．可以证出OE⊥BB1 ， BC⊥OE而得以证明．在RT△A1OA中，利用直角三角形射影定理得出AE．（2）如图，分别以OA，OB，OA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面A1B1C的法向量是 =（x，y，z），利用 ， 夹角求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．