Question

17£®ÒÑÖª{ a_n }ÊÇÒ»¸ö¹«²î´óÓÚ0µÄµÈ²îÊýÁУ¬ÇÒÂú×ãa₃a₆=55£¬a₂+a₇=16£®
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Answer 1

·ÖÎö £¨1£©ÓÉÒÑÖªÁÐʽÇóµÃµÈ²îÊýÁеĹ«²î£¬´úÈëµÈ²îÊýÁеÄͨÏʽÇóµÃÊýÁÐ{ a_n }µÄͨÏʽ£»
£¨2£©ÓÉ$\frac{{b}_{1}}{2}+\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}}+\frac{{b}_{3}}{{2}^{3}}$+¡­+$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$=a_n ÇóµÃb₁¼°b_n£¬¿ÉµÃÊýÁÐ{b_n}ÊÇÒÔ2ΪÊ×ÏÒÔ2Ϊ¹«±ÈµÄµÈ±ÈÊýÁУ¬ÔòÊýÁÐ{b_n}µÄÇ°nÏîºÍS_n¿ÉÇó£®

½â´ð ½â£º£¨1£©¡ßÊýÁÐ{ a_n }ÊǵȲîÊýÁУ¬ÇÒa₂+a₇=16£¬
¡àa₃+a₆=16£¬ÓÖ¡ßa₃a₆=55£¬ÇÒÊýÁÐ{ a_n }µÄ¹«²î´óÓÚ0£¬
¡àa₃=5£¬a₆=11£¬ÔòÆ乫²îd=$\frac{{a}_{6}-{a}_{3}}{6-3}=\frac{11-5}{3}$=2£¬
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µ±n¡Ý2ʱ£¬a_n-a_n-1=£¨$\frac{{b}_{1}}{2}+\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}}+\frac{{b}_{3}}{{2}^{3}}$+¡­+$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}$£©-£¨$\frac{{b}_{1}}{2}+\frac{{b}_{2}}{{2}^{2}}+\frac{{b}_{3}}{{2}^{3}}$+¡­+$\frac{{b}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$£©
=$\frac{{b}_{n}}{{2}^{n}}=£¨2n-1£©-[2£¨n-1£©-1]=2$£¬
¡à${b}_{n}={2}^{n+1}$£¬Ôò$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=\frac{{2}^{n+1}}{{2}^{n+1}}=2$£®
¡àÊýÁÐ{b_n}ÊÇÒÔ2ΪÊ×ÏÒÔ2Ϊ¹«±ÈµÄµÈ±ÈÊýÁУ¬ÆäÇ°nÏîºÍS_n=$\frac{2£¨1-{2}^{n}£©}{1-2}={2}^{n+1}-2$£®

µãÆÀ ±¾Ì⿼²éÊýÁеÝÍÆʽ£¬¿¼²éÁ˵ȲîÊýÁеÄÐÔÖʺ͵ȱȹØϵµÄÈ·¶¨£¬ÑµÁ·Á˵ȱÈÊýÁÐÇ°nÏîºÍµÄÇ󷨣¬ÊÇÖеµÌ⣮