Question

12．以直角坐标系原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}+tcosα\\ y=tsinα\end{array}$，（t为参数，0＜α＜π），曲线C的极坐标方程ρ=$\frac{2cosθ}{si{n}^{2}θ}$．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当α=$\frac{π}{3}$，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （1）利用互化公式即可得出直角坐标方程．
（2）将直线l的参数方程代入y²=2x，得t²sin²α-2tcos α-1=0，设A，B两点对应的参数分别为t₁，t₂，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．

解答 解：（1）由ρ=$\frac{2cosθ}{si{n}^{2}θ}$，得ρ²sin²θ=2ρcos θ，所以曲线C的直角坐标方程为y²=2x．
（2）将直线l的参数方程代入y²=2x，得t²sin²α-2tcos α-1=0，
设A，B两点对应的参数分别为t₁，t₂，
则t₁+t₂=$\frac{2cosα}{si{n}^{2}α}$，t₁•t₂=-$\frac{1}{sin2α}$，
所以|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\sqrt{\frac{4co{s}^{2}α}{si{n}^{4}α}+\frac{4}{si{n}^{2}α}}$=$\frac{2}{si{n}^{2}α}$=$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．