Question

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），若y=

f(x)

x

在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“一阶比增函数”；若y=

f(x)

x2

在（0，+∞）上为增函数，则称f（x）为“二阶比增函数”．我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为Ω₁，所有“二阶比增函数”组成的集合记为Ω₂．若函数f（x）=x³-2hx²-hx，且f（x）∈Ω₁，f（x）∉Ω₂，则实数h的取值范围是（　　）

• A、[0，+∞）
• B、（0，+∞）
• C、（-∞，0]
• D、（-∞，0）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：因为f（x）∈Ω₁且f（x）∉Ω₂，即g(x)=

f(x)

x

=x2-2hx-h在（0，+∞）是增函数，所以h≤0．而h(x)=

f(x)

x2

=x-

h

x

-2h在（0，+∞）不是增函数，而h′(x)=1+

h

x2

，所以当h（x）是增函数时，有h≥0，所以当h（x）不是增函数时，有h＜0．综上所述，可得h的取值范围是（-∞，0）．

解答： 解：∵f（x）∈Ω₁且f（x）∉Ω₂，
即g(x)=

f(x)

x

=x2-2hx-h在（0，+∞）是增函数，
∴h≤0．
而h(x)=

f(x)

x2

=x-

h

x

-2h在（0，+∞）不是增函数，
而h′(x)=1+

h

x2

，
∴当h（x）是增函数时，有h≥0，
∴当h（x）不是增函数时，有h＜0．
综上所述，可得h的取值范围是（-∞，0）；
故选：D．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．