Question

函数f（x）=ax³+x恰有三个单调区间，则a的取值范围是（　　）

• A、（-∞，-

  1

  3

  ]
• B、[-

  1

  3

  ，+∞）
• C、[0，+∞）
• D、（-∞，0）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用

分析：求出函数f（x）的导数，要使f（x）=ax³+x恰有三个单调区间，则f'（x）=0，有两个不等的实根，利用判别式△＞0，进行求解即可．

解答： 解：由f（x）=ax³+x，得f′（x）=3ax²+1．
若a≥0，f′（x）≥0恒成立，此时f（x）在（-∞，+∞）上为增函数，函数只有一个增区间，不满足条件．
若a＜0，由f′（x）＞0，得-

- 1 3a

＜x＜

- 1 3a

，由f′（x）＜0，得x＞

- 1 3a

或x＜-

- 1 3a

，
∴满足f（x）=ax³+x恰有三个单调区间的a的范围是（-∞，0）；
故选：D

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，是中档题．