Question

【题目】在平面直角坐标系中，设的顶点分别为，圆是的外接圆，直线的方程是.

（1）求圆的方程；

（2）证明：直线与圆相交；

（3）若直线被圆截得的弦长为3，求的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）或.

【解析】

（1）求出边AC、BC的垂直平分线方程，根据圆心M在这2条边的垂直平分线上，可得M（,），再求出半径MC的值，即可得到圆的标准方程．（2）根据直线l经过定点N，而点N在圆的内部，即可得到直线和圆相交．（3）由条件利用弦长公式求得圆心M（,）到直线l的距离为d=．再根据据点到直线的距离公式求得m的值，可得直线l的方程．

（1）∵△ABC的顶点分别为A（0，2），B（﹣1，0），C（2，0），故线段BC的垂直平分线方程为x＝，

线段AC的垂直平分线为 y＝x，再由圆心M在这2条边的垂直平分线上，可得M（，），

故圆的半径为|MC|＝＝，故圆的方程为+＝．

（2）根据直线l的方程是（2+m）x+（2m﹣1）y﹣3m﹣1＝0（m∈R），即m（x+2y﹣3）+2x﹣y﹣1＝0，

由可得，故直线经过定点N（1，1）．

由于MN＝＝＜r＝，故点N在圆的内部，故圆和直线相交．

（3）∵直线l被圆M截得的弦长为3，

故圆心M（，）到直线l的距离为d＝＝．

再根据点到直线的距离公式可得＝，求得 m＝﹣2，或m＝，

故直线l的方程为y＝1或x＝1．