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    定义在[0，1]上的函数f（x）满足f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，f（
    x
    5
    ）=
    1
    2
    f（x），且当0≤x1＜x2≤1时f（x1）≤f（x2），则f（
    1
    2010
    ）等于（　　）
    分析：可令x=1，由f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，求得f（1）=1，又f（
    x
    5
    ）=
    1
    2
    f（x）⇒f（
    1
    5
    ）=
    1
    2
    ；反复利用f（
    x
    5
    ）=
    1
    2
    f（x）⇒f（
    1
    3125
    ）=
    1
    2
    f（
    1
    625
    ）=
    1
    32
     ①；再令x=
    1
    2
    ，由f（x）+f（1-x）=1，可求得f（
    1
    2
    ）=
    1
    2
    ，同理反复利用f（
    x
    5
    ）=
    1
    2
    f（x）⇒f（
    1
    1250
    ）=
    1
    2
    f（
    1
    250
    ）=
    1
    32
     ②；又0≤x1＜x2≤1时f（x1）≤f（x2），而
    1
    3125
    ＜
    1
    2010
    ＜
    1
    1250
    从而可求得f（
    1
    2010
    ）的值．
    解答：解：∵f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，令x=1得：f（1）=1，
    又f（
    x
    5
    ）=
    1
    2
    f（x），
    ∴当x=1时，f（
    1
    5
    ）=
    1
    2
    f（1）=
    1
    2
    ；
    令x=
    1
    5
    ，由f（
    x
    5
    ）=
    1
    2
    f（x）得：
    f（
    1
    25
    ）=
    1
    2
    f（
    1
    5
    ）=
    1
    4
    ；
    同理可求：f（
    1
    125
    ）=
    1
    2
    f（
    1
    25
    ）=
    1
    8
    ；
    f（
    1
    625
    ）=）=
    1
    2
    f（
    1
    125
    ）=
    1
    16
    ；
    f（
    1
    3125
    ）=
    1
    2
    f（
    1
    625
    ）=
    1
    32
     ①
    再令x=
    1
    2
    ，由f（x）+f（1-x）=1，可求得f（
    1
    2
    ）=
    1
    2
    ，
    ∴f（
    1
    2
    ）+f（1-
    1
    2
    ）=1，解得f（
    1
    2
    ）=
    1
    2
    ，
    令x=
    1
    2
    ，同理反复利用f（
    x
    5
    ）=
    1
    2
    f（x），
    可得f（
    1
    10
    ）=）=
    1
    2
    f（
    1
    2
    ）=
    1
    4
    ；
    f（
    1
    50
    ）=
    1
    2
    f（
    1
    10
    ）=
    1
    8
    ；
    …
    f（
    1
    1250
    ）=
    1
    2
    f（
    1
    250
    ）=
    1
    32
     ②
    由①②可得：，有f（
    1
    1250
    ）=f（
    1
    3125
    ）=
    1
    32
    ，
    ∵0≤x1＜x2≤1时f（x1）≤f（x2），而0＜
    1
    3125
    ＜
    1
    2010
    ＜
    1
    1250
    ＜1
    所以有f（
    1
    2010
    ）≥f（
    1
    3125
    ）=
    1
    32
    ，
           f（
    1
    2010
    ）≤f（
    1
    1250
    ）=
    1
    32
    ；
    故f（
    1
    2010
    ）=
    1
    32
    ．
    故选C．
    点评：本题考查抽象函数及其应用，难点在于利用f（0）=0，f（x）+f（1-x）=1，两次赋值后都反复应用f（
    x
    5
    ）=
    1
    2
    f（x），分别得到关系式①②，从而使问题解决，属于难题．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）为定义在[0，1]上的非减函数，且满足以下三个条件：
    ①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1x∈[0，1]； ③当x∈[0，
    1
    3
    ]    时，f(x)≥
    3
    2
    x    恒成立．则f(
    3
    7
    )+f(
    5
    9
    )    =
     
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2009•上海模拟）对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为G函数．
    ①对任意的x∈[0，1]，总f（x）≥0；
    ②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2成立．
    已知函数g（x）=x2与h（x）=a&•2x-1是定义在[0，1]上的函数．
    （1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由；
    （2）若函数h（x）是G函数，求实数a的值；
    （3）在（2）的条件下，讨论方程g（2x-1）+h（x）=m（m∈R）解的个数情况．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2008•南京模拟）函数f （x）是定义在[0，1]上的函数，满足f （x）=2f （
    x
    2
    ），且f （1）=1，在每一个区间（
    1
    2k
    ，
    1
    2k-1
    ]（k=1，2，3，…）上，y=f （x）的图象都是斜率为同一常数m的直线的一部分，记直线x=
    5
    3×2n
    ，x=
    1
    2n-1
    ，x轴及函数y=f （x）的图象围成的梯形面积为an（n=1，2，3，…），则数列{an}的通项公式为
    12-m
    9×22n+1
    12-m
    9×22n+1
    ．（用最简形式表示）

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为G函数．
    ①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
    ②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．
    已知函数g（x）=x2与h（x）=a•2x-1是定义在[0，1]上的函数．
    （1）试问函数g（x）是否G函数？并说明理由；
    （2）若函数h（x）是G函数，求实数a的值；
    （3）在（2）的条件下，是否存在实数m，使方程g（2x-1）+h（x）=m恰有两解？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    若定义在[0，1]上的函数f（x）同时满足：①f（x）≥0；②f（1）=1；③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．则称函数f（x）为“梦函数”．
    （1）试验证f（x）=2x-1在区间[0，1]上是否为“梦函数”；
    （2）若函数f（x）为“梦函数”，求f（x）的最值．

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