Question

（2008•南京模拟）函数f （x）是定义在[0，1]上的函数，满足f （x）=2f （

x

2

），且f （1）=1，在每一个区间（

1

2k

，

1

2k-1

]（k=1，2，3，…）上，y=f （x）的图象都是斜率为同一常数m的直线的一部分，记直线x=

5

3×2n

，x=

1

2n-1

，x轴及函数y=f （x）的图象围成的梯形面积为a_n（n=1，2，3，…），则数列{a_n}的通项公式为

12-m

9×22n+1

．（用最简形式表示）

Answer 1

分析：先根据f（0）=2f（0），求出f（0）及f（1）的值，归纳总结得f（ 

1

2k-1

）=

1

2k-1

，然后当 

1

2

＜x≤

1

2k-1

时，f(x)=

1

2k-1

+m(x-

1

2k-1

)
，利用体形的面积公式可得ak=

1

2

[

1

2k-1

+

1

2k-1

+m（

5

3×2k

-

1

2k-1

）]×(

1

2k-1

-

5

3×2k

)=

12-m

9×22k+1

，从而可求

解答：解：由f（0）=2f（0），得f（0）=0
由 f（1）=2f（

1

2

）及f（1）=1，得  f（

1

2

）=

1

2

f（1）=

1

2

同理，f（

1

4

）=

1

2

f(

1

2

)=

1

4

归纳得  f(

1

2k-1

) =

1

2k-1

当 x∈(

1

2k

，

1

2k-1

 ]时，1f(x)=

1

2k-1

+m(x-

1

2k-1

)
ak=

1

2

[

1

2k-1

+

1

2k-1

+m（

5

3×2k

-

1

2k-1

）]×(

1

2k-1

-

5

3×2k

)=

12-m

9×22k+1

∴an=

12-m

9×22n+1

故答案为：

12-m

9×22n+1

点评：本小题主要考查函数、数列等基本知识，考查分析问题和解决问题的能力，属于综合性试题，有一定的难度．