Question

20．若关于x的方程$\frac{|x|}{x+4}=k{x^2}$有4个不同的实根，则k的取值范围为（　　）

• A． [0，4]
• B． [4，+∞）
• C． （$\frac{1}{4}$，+∞）
• D． （-∞，$\frac{1}{4}$]

Answer 1

分析 首先判断出x=0是方程的一个实数解，所以$\frac{|x|}{x+4}=k{x^2}$有三个不同的非零实数解；然后判断出g（x）=$\frac{1}{k}$=$\left\{\begin{array}{l}x（x+4），x＞0\\-x（x+4），x＜0\end{array}\right.$，根据其函数图象，要使$\frac{|x|}{x+4}=k{x^2}$有三个不同的非零实数解，求出k的取值范围即可．

解答 解：∵$\frac{|x|}{x+4}=k{x}^{2}$，
∴x=0是方程的一个实数解，
又∵关于x的方程$\frac{|x|}{x+4}=k{x^2}$有4个不同的实根，
∴$\frac{|x|}{x+4}=k{x^2}$有三个不同的非零实数解．
（1）当x＞0时，
由$\frac{x}{x+4}=k{x}^{2}$，
可得$\frac{1}{k}$=x（x+4）；
（2）当x＜0时，
由-$\frac{x}{x+4}=k{x}^{2}$，
可得$\frac{1}{k}$=-x（x+4）；
∴g（x）=$\frac{1}{k}$=$\left\{\begin{array}{l}x（x+4），x＞0\\-x（x+4），x＜0\end{array}\right.$，如图1，

要使$\frac{|x|}{x+4}=k{x^2}$有三个不同的非零实数解，
则0＜$\frac{1}{k}$＜4，
∴k＞$\frac{1}{4}$．
故选：C．

点评 此题主要考查了分式方程的解，要熟练掌握，注意数形结合方法的应用，解答此题的关键是判断出：g（x）=$\frac{1}{k}$=$\left\{\begin{array}{l}x（x+4），x＞0\\-x（x+4），x＜0\end{array}\right.$，考查数形结合的应用．