Question

5．已知函数f（x）=x（1+a|x|）（a∈R），设关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为A，若$[{-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}}]⊆A$，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-1，0）
• B． $（{-1，\frac{{1-\sqrt{5}}}{2}}）$
• C． $（{\frac{{1-\sqrt{5}}}{2}，0}）$
• D． $（{0，\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}}）$

Answer 1

分析 由题意可得，在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上，函数y=f（x+a）的图象应在函数y=f（x）的图象的下方．当a=0或 a＞0时，检验不满足条件．当a＜0时，应有f（-$\frac{1}{2}$+a）＜f（-$\frac{1}{2}$），化简可得 a²-a-1＜0，由此求得a的范围．

解答 解：由于f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+x，x≥0}\\{x-a{x}^{2}，x＜0}\end{array}\right.$，
关于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集为M，若[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]⊆A，
则在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上，函数y=f（x+a）的图象应在函数y=f（x）的图象的下方．
当a=0时，显然不满足条件．
当a＞0时，函数y=f（x+a）的图象是把函数y=f（x）的图象向左平移a个单位得到的，
结合图象（右上方）可得不满足函数y=f（x+a）的图象在函数y=f（x）的图象下方．
当a＜0时，如图所示，要使在[-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$]上，
函数y=f（x+a）的图象在函数y=f（x）的图象的下方，
只要f（-$\frac{1}{2}$+a）＜f（-$\frac{1}{2}$）即可，
即-a（-$\frac{1}{2}$+a）²+（$\frac{1}{2}$-a）＜-a（-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$，
化简可得 a²-a-1＜0，解得 $\frac{1-\sqrt{5}}{2}$＜a＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，
故此时a的范围为（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，0）．
综上可得，a的范围为（$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$，0），
故选：C．

点评 本题考查函数的单调性、二次函数的性质、不等式等知识，考查数形结合思想、分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，注意排除法在解决选择题中的应用，属于中档题．