Question

【题目】如图，四边形ABCD为菱形，四边形ACFE为平行四边形，设BD与AC相交于点G，AB＝BD＝AE＝2，∠EAD＝∠EAB．

（1）证明：平面ACFE⊥平面ABCD；

（2）若直线AE与BC的夹角为60°，求直线EF与平面BED所成角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）先由已知条件求得，得到，再结合菱形的对角线垂直，可得平面，即可证得平面ACFE⊥平面ABCD；

（2）建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，设的坐标，根据条件求出，再求得直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．

（1）证明：连接EG，因为AB＝BD＝AE＝2，∠EAD＝∠EAB，

可得△EAD≌EAB，∴ED＝EB．

∵G为BD的中点，所以EG⊥BD，因为四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，

∴BD⊥平面ACEF，因为BD平面ABCD；

∴平面ACFE⊥平面ABCD；

（2）因为EF∥AG，直线EF与平面BED所成角即为AG与平面BED所成角；

以G为原点建立如图所示空间直角坐标系，如图所示，

设E（a，0，b）则（a，0，b），

因为（，﹣1，0），

所以由条件可得：||2＝（a）2+b2＝4且a+3＝2×2×cos60°＝2；

解得，所以（，﹣1，），因为（0，2，0）；

所以可取平面BED的法向量（2，0，﹣1），因为（﹣2，0，0），

设直线EF与平面BED所成角为θ，则sinθ，

∵0＜θ；∴sosθ；

既直线EF与平面BED所成角的余弦值为．