Question

11．已知向量$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$是夹角为60⁰的单位向量，$\overrightarrow c=3\overrightarrow a+2\overrightarrow b$，$\overrightarrow d=m\overrightarrow a-4\overrightarrow b$，（1）求$|{\overrightarrow a+3\overrightarrow b}|$；（2）当m为何值时，$\overrightarrow c$与$\overrightarrow d$平行？

Answer 1

分析 （1）利用向量的平方与其模长平方相等，转化为数量积的运算，然后开方求值；
（2）利用向量平行的性质得到$\overrightarrow c=λ\overrightarrow d$，借助于平面向量基本定理得到m的值．

解答 解：（1）$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\frac{1}{2}$，
∴${|{\overrightarrow a+3\overrightarrow b}|^2}={|a|^2}+6\overrightarrow a•\overrightarrow b+9{|{\overrightarrow b}|^2}=13$，
∴$|{\overrightarrow a+3\overrightarrow b}|=\sqrt{13}$…4分
（2）当$\overrightarrow c$∥$\overrightarrow d$，则存在实数λ使$\overrightarrow c=λ\overrightarrow d$，所以$3\overrightarrow a+2\overrightarrow b=λ（m\overrightarrow a-4\overrightarrow b）$
∵$\overrightarrow a，\overrightarrow b$不共线
∴$\left\{\begin{array}{l}3=λm\\ 2=-4λ\end{array}\right.$
∴m=-6…（8分）

点评 本题考查了平面向量的模长计算以及平行的性质、平面向量基本定理；属于基础题．