Question

7．已知函数f（x）=lnx+x²+2ax，a∈R．
（1）若函数f（x）在其定义域上为增函数，求a的取值范围；
（2）当$a=\frac{1}{2}$时，函数$g（x）=\frac{f（x）}{x+1}-x$在区间[t，+∞）（t∈N^*）上存在极值，求t的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，问题转化为$-2a≤\frac{1}{x}+2x$对x∈（0，+∞）都成立，根据函数的单调性求出a的范围即可；
（2）求出g（x）的导数，问题转化为方程$1+\frac{1}{x}-lnx=0$在[t，+∞）（t∈N^*）上有解，令$φ（x）=1+\frac{1}{x}-lnx$（x＞0），根据函数的单调性求出t的最大值即可．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
∵f（x）=lnx+x²+2ax，∴$f'（x）=\frac{1}{x}+2x+2a$．
∵函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴f'（x）≥0，即$\frac{1}{x}+2x+2a≥0$对x∈（0，+∞）都成立．…（2分）
∴$-2a≤\frac{1}{x}+2x$对x∈（0，+∞）都成立．
当x＞0时，$\frac{1}{x}+2x≥2\sqrt{\frac{1}{x}•2x}=2\sqrt{2}$，当且仅当$\frac{1}{x}=2x$，即$x=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$时，取等号．
∴$-2a≤2\sqrt{2}$，即$a≥-\sqrt{2}$．∴a的取值范围为$[{-\sqrt{2}，+∞}）$．…（5分）
（2）当$a=\frac{1}{2}$时，$g（x）=\frac{f（x）}{x+1}-x=\frac{{lnx+{x^2}+x}}{x+1}-x=\frac{lnx}{x+1}$.$g'（x）=\frac{{1+\frac{1}{x}-lnx}}{{{{（{x+1}）}^2}}}$．…（6分）
∵函数g（x）在[t，+∞）（t∈N^*）上存在极值，
∴方程g'（x）=0在[t，+∞）（t∈N^*）上有解，
即方程$1+\frac{1}{x}-lnx=0$在[t，+∞）（t∈N^*）上有解．…（8分）
令$φ（x）=1+\frac{1}{x}-lnx$（x＞0），
由于x＞0，则$φ'（x）=-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}＜0$，∴函数φ（x）在（0，+∞）上单调递减．
∵$φ（3）=\frac{4}{3}-ln3=\frac{1}{3}ln$$\frac{e^4}{27}$$＞\frac{1}{3}ln\frac{{{{2.5}^4}}}{27}＞0$，$φ（4）=\frac{5}{4}-ln4=\frac{1}{4}ln$$\frac{e^5}{256}$$＜\frac{1}{4}ln\frac{3^5}{256}＜0$，
∴函数φ（x）的零点x₀∈（3，4）．
∵方程φ（x）=0在[t，+∞）（t∈N^*）上有解，t∈N^*∴t≤3．
∵t∈N^*，∴t的最大值为3．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，函数恒成立问题，是一道中档题．