Question

16．如图所示，在平行四边形ABCD中，点E是AB延长线上一点，DE交AC于点G，交BC于点F．
（1）求证：$\frac{CF}{CB}$=$\frac{AB}{AE}$．
（2）求证：DG²=GE•GF．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形两条对边平行，得到两对相似三角形．写出对应边成比例，得到两个比例式中各有两条线段的比相等，根据等量代换得到比例式，转化成乘积式，得到结论．
（2）做法同一类似，根据两条线段平行，根据平行得到对应线段成比例，在两个比例式中出现有一个比例相等，利用等量代换，得到结论．

解答 证明（1）：∵BF∥AD，∴$\frac{AB}{AE}$=$\frac{DF}{DE}$．
又∵CD∥BE，∴$\frac{CF}{CB}$=$\frac{DF}{DE}$，
∴$\frac{CF}{CB}$=$\frac{AB}{AE}$．
（2）∵CD∥AE，∴$\frac{DG}{GE}$=$\frac{CG}{AG}$．
又∵AD∥CF，∴$\frac{GF}{DG}$=$\frac{CG}{AG}$，
∴$\frac{DG}{GE}$=$\frac{GF}{DG}$，
即DG²=GE•GF．

点评 本题考查平行线分线段成比例定理，在题目中连续使用成比例定理，有两次使用等量代换，是一个比较典型的题目，实际上证明线段成比例是学习中的难点．