Question

6．已知函数f（x）=（2-a）lnx-2ax-$\frac{1}{x}$，
（1）试讨论f（x）的单调性；
（2）如果当x＞1时，f（x）＜-2a-1，求实数a的取值范围；
（3）记函数g（x）=f（x）+（a-4）lnx+3ax-$\frac{3a+1}{x}$，若g（x）在区间[1，4]上不单调，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，分类讨论，利用导数的正负，讨论f（x）的单调性；
（2）如果当x＞1时，f（x）＜-2a-1，（1，x）在f（x）递减区间，故$\frac{1}{a}$≤1＜x，即可求实数a的取值范围；
（3）g（x）在区间[1，4]上不单调，g（x）在[1，4]上有极值，利用导数可求．

解答 解：（1）f'（x）=$\frac{（1+2x）（1-ax）}{{x}^{2}}$．令f'（x）=0，解得x₁=-$\frac{1}{2}$，x₂=$\frac{1}{a}$．
由题，显然x∈（0，﹢∞），故
①a=0时，f'（x）=$\frac{1+2x}{{x}^{2}}$＞0，则f（x）单调递增；
②a＜0时，f'（x）＞0对任意x∈﹙0，﹢∞﹚均成立，则f（x）单调递增；
③a＞0时，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$上单调递增，在（$\frac{1}{a}$，﹢∞）上单调递减．
综上，a≤0，f（x）在﹙0，﹢∞﹚上单调递增；a＞0，f（x）在（0，$\frac{1}{a}$）上单调递增，在（$\frac{1}{a}$，﹢∞）上单调递减；
（2）f（x）＜-2a-1=f（1）由（1）知，当a≤0时，x＞1，f（x）单调递增，故f（x）＞f（1）矛盾．
所以a＞0，因为f（1）＞f（x），可知（1，x）在f（x）递减区间，故$\frac{1}{a}$≤1＜x 解得a≥1；
（3）g（x）=f（x）+（a-4）lnx+3ax-$\frac{3a+1}{x}$=-2lnx+3ax-$\frac{3a+1}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{3a{x}^{2}-2x+（3a+1）}{{x}^{2}}$
∵g（x）在区间[1，4]上不单调，∴g（x）在[1，4]上有极值；
即方程$\frac{3a{x}^{2}-2x+（3a+1）}{{x}^{2}}$=0在[1，4]上有解，
∴3a=$\frac{2x-1}{{x}^{2}+1}$在[1，4]上有解，
构造函数h（x）=$\frac{2x-1}{{x}^{2}+1}$，x∈[1，4]，则h′（x）=$\frac{2（-{x}^{2}+x+1）}{（{x}^{2}+1）^{2}}$＜0，
∴h（x）在[1，4]上单调递减，
∴3a∈[$\frac{7}{17}$，$\frac{1}{2}$]，
∴a∈[$\frac{7}{51}$，$\frac{1}{6}$]．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．