Question

1．若函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象与直线l交于两点A（t，t³-t），B（2t²+3t，t³+t²），其中t≠0且t≠-1，则f'（t²+2t）的值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由题意，将A，B坐标带入函数f（x）=ax²+bx+c，找到a，b与t的关系．在求导函数，再值f'（t²+2t）计算

解答 解：由题意：A（t，t³-t），B（2t²+3t，t³+t²）在函数f（x）=ax²+bx+c上，
则有：f（t）=at²+bt+c=t³-t…①，f（2t²+3t）=a（2t²⁺+3t）²+b（2t²+3t）+c=t³+t²…②
那么：②-①得：4at²（t²+3t+2）+2bt（t+1）=t（t+1）
              化简：4at²（t+12bt（t+1）=t（t+1）
              解得：4at（t+2）+2b=1
∵f（x）=ax²+bx+c
∴f′（x）=2ax+b
f'（t²+2t）=2a（t²+2t）+b
=2at（t+2）+6
=$\frac{1}{2}$[4at（t+2）+2b]
=$\frac{1}{2}$
故答案为$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了导函数定义中的一个知识点，二次函数与直线交点的中点横坐标的导函数值就是直线AB的斜率．属于中档题．