Question

19．如图，己知三棱锥P-ABC，底面是边长为2的正三角形，平面PAB⊥平面ABC，PA=PB=$\sqrt{2}$，D为BC中点．
（Ⅰ）求证：AB⊥PC；
（Ⅱ）求点B到平面PAD的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AB中点E，连接PE、CE，证明AB⊥平面PEC，即可证明：AB⊥PC；
（Ⅱ）利用V_B-PAD=V_P-ABD，求点B到平面PAD的距离．

解答 （I）证明：取AB中点E，连接PE、CE，
∵PB=PA，∴AB⊥PE，
∵AC=BC，∴AB⊥CE…（2分）
又∵PE∩CE=E，∴AB⊥平面PEC…（4分）
又∵PC?平面PEC，∴AB⊥PC…（6分）
（II）解：过E作EF⊥AD于F，连接PF，
∵平面PAB⊥平面ABC且PE⊥AB，
∴PE⊥平面ABC
∴PE⊥AD 
又EF⊥AD，PE∩EF=E
∴AD⊥平面PEF
∴PF⊥AD
∵D为正三角形ABC边BC的中点，
∴AD⊥BC．
又EF⊥AD，∴EF∥BC，∴EF=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{4}$BC=$\frac{1}{2}$
在△PAB中，AB=2，PB=PA=$\sqrt{2}$，∴PE=1
∴PF=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∴S_△PAD=$\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{5}}}{2}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$…（9分）
设B到平面PAD的距离为h，V_B-PAD=$\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{15}}}{4}h$=$\frac{{\sqrt{15}}}{12}h$
三棱锥P-ABD的体积V_P-ABD=$\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$…（11分）
∵V_B-PAD=V_P-ABD，∴$\frac{{\sqrt{15}}}{12}h=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，
∴h=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$…（12分）

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查点到平面距离的计算，考查三棱锥体积的计算，正确求体积是关键．