Question

18．存在函数f（x）满足：对任意x∈R，都有（　　）

• A． f（sinx）=sin2x
• B． f（cosx）=sin2x
• C． f（x²-2x）=|x-1|
• D． f（|x-1|）=x²-1

Answer 1

分析 本题属于函数定义域解析式求法类题型．在函数定义中，一个自变量只能对应一个函数值或多个自变量对应一个函数值．
对于A、B、D可采用取特殊值来排除，对于C选项可利用换元法来求函数的解析式．

解答 解：A．取x=$\frac{π}{3}$，则sinx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sin2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$⇒f（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
取x=$\frac{2π}{3}$，则 sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，sin2x=$-\frac{\sqrt{3}}{2}$⇒f（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$
故A不符合题意；
B．取x=$\frac{π}{4}$，则cosx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sin2x=1⇒f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=1
取 x=-$\frac{π}{4}$，则cosx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，sin2x=-1⇒f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=-1
故B不符合题意；
D．取x=0，则|x-1|=1，x²-1=-1⇒f（1）=-1
取x=2，则|x-1|=1，x²-1=3⇒f（1）=3
故D不符合题意；
C．令 x²-2x=t≥-1，
∴（x-1）²=t+1
解得x=1$±\sqrt{t+1}$
∴f（t）=|1$±\sqrt{t+1}$-1|=$\sqrt{t+1}$
所以存在函数f（x）=$\sqrt{x+1}$（x≥-1）
故C符合题意
因此本题答案为：C

点评 本题考查了考生对函数的定义的理解与换元法求函数解析式．在高考中考生也应善于利用取特殊值对选项进行排除，这样能提高解题效率．