Question

6．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}-{x^2}{e^x}，x＜0\\-{x^2}+4x+3，x≥0\end{array}\right.$，若方程f（x）-k=0有两个零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． [3，7）∪{-4e^-2，0}
• B． [3，7）∪{-4e^-2}
• C． [4e^-2，7）
• D． [0，7]∪{-4e^-2}

Answer 1

分析 分别研究不同定义域上函数的性质，即可得出结论．

解答 解：x＜0时，f′（x）=-（x²+2x）e^x，
令 f′（x）＞0，解得-2＜x＜0，
令f′（x）＜0，解得x＜-2，或x＞0，
∴f（x）的递增区间为（-2，0），递减区间为（-∞，-2），
x=-2时，函数取得极小值4e^-2，x→-∞，f（x）→0，
x≥0时，f（x）=-（x-2）²+7，f（0）=3，f（2）=7，
∵方程f（x）-k=0有两个零点，
∴实数k的取值范围是[3，7）∪{-4e^-2，0}，
故选：A．

点评 本题考查分段函数，考查函数的零点，正确确定函数的性质是关键．