Question

在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足2

CA

•

CB

=c²-（a+b）²．
（1）求角C的大小；
（2）求2

3

cos²

A

2

-sin（

4π

3

-B）的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（1）已知等式左边利用平面向量的数量积运算法则计算，右边利用完全平方公式展开，整理后利用余弦定理化简求出cosC的值，即可确定出C的度数；
（2）由C的度数求出A+B的度数，用B表示出A，原式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，第二项利用诱导公式化简后将表示出的A代入，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据正弦函数的值域确定出最大值，以及此时A与B的度数．

解答： 解：（1）由已知得：2abcosC=c²-a²-b²-2ab，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得：4abcosC=-2ab，
∴cosC=-

1

2

，
∵C为三角形内角，
∴C=

2π

3

；
（2）∵C=

2π

3

，A+B+C=π，
∴A+B=

π

3

，即A=

π

3

-B，即0＜A＜

π

3

，
2

3

cos²

A

2

-sin（

4π

3

-B）=2

3

•

1+cosA

2

+sin（

π

3

-B）=

3

+

3

cosA+sinA=

3

+2sin（A+

π

3

），
∵0＜A＜

π

3

，∴

π

3

＜A+

π

3

＜

2π

3

，
当A+

π

3

=

π

2

，即A=

π

6

时，2

3

cos²

A

2

-sin（

4π

3

-B）的最大值为2+

3

，此时B=

π

3

-A=

π

6

，
则2

3

cos²

A

2

-sin（

4π

3

-B）的最大值为2+

3

，取得最大值时A=B=

π

6

．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．