Question

已知抛物线y²=4

2

x的焦点为椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点，且椭圆的长轴长为4，左右顶点分别为A，B，经过椭圆左焦点的直线l与椭圆交于C、D两点．
（Ⅰ）求椭圆标准方程；
（Ⅱ）记△ABD与△ABC的面积分别为S₁和S₂，且|S₁-S₂|=2，求直线l方程；
（Ⅲ）若M（x₁，y₁）N（x₂，y₂）是椭圆上的两动点，且满x₁x₂+2y₁y₂=0，动点P满足

OP

=

OM

+2

ON

（其中O为坐标原点），是否存在两定点F₁，F₂使得|PF₁|+|PF₂|为定值，若存在求出该定值，若不存在说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件得椭圆中的c=

2

，又由椭圆的长轴为4，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）设直线l：x=my-

2

，代入椭圆方程，得：(m2+2)y2-2

2

my-2=0，由此利用三角形的面积公式结合已知条件能求出直线l的方程．
（Ⅲ）设P（x_P，y_P），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．由

OP

=

OM

+2

ON

，得

xP2

20

+

yP2

10

=1，由椭圆定义知|PF₁|+|PF₂|为定值4

5

．

解答： 解：（Ⅰ）由题设知：
∵抛物线y2=4

2

x的焦点为（

2

，0），
∴椭圆中的c=

2

，又由椭圆的长轴为4，得a=2，
∴b²=a²-c²=2，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
（Ⅱ）设直线l：x=my-

2

，代入椭圆方程，得：
(m2+2)y2-2

2

my-2=0，
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），A（-2，0），B（2，0），
y1+y2 =

2 2 m

m2+2

，
∴|S₁-S₂|=

1

2

×4×||y1|-|y2||=

1

2

×|y1+y2|=2×

2 2 |m|

m2+2

=2，
∴m=±

2

，
∴直线l的方程为x±

2

y+

2

=0．
（Ⅲ）存在两定点F₁，F₂使得|PF₁|+|PF₂|为定值．
设P（x_P，y_P），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
由

OP

=

OM

+2

ON

，得：

xP=x1+2x2 yP=y1+2y2

，①
x₁x₂+2y₁y₂=0，②
M，N是椭圆上的点，
∴x12+2y12=4，x22+2y22=4，
由①②，得xp2+2yP2=(x1+2x1)2+2(y1+2y2)2
=（x12+2y12）+4（x22+2y22），
∴xP2+2yP2=20，即

xP2

20

+

yP2

10

=1，
由椭圆定义知|PF₁|+|PF₂|为定值4

5

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查两线段长为定值的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．