Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，平面PCD⊥底面ABCD，E是PC的中点．
（Ⅰ）求证：PA∥平面BDE；
（Ⅱ）若PD=PC=

2

2

DC，求证：平面PDA⊥平面PCB；
（Ⅲ）若侧棱PD⊥底面ABCD，PD=4．求△PAD以PA为轴旋转所围成的几何体体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）连接AC交BD于O，连接EO，证明OE∥PA，即可证明PA∥平面BDE；
（Ⅱ）证明PD⊥平面PCB，可得平面PDA⊥平面PCB；
（Ⅲ）过D作PA的垂线．垂足为H，则几何体为以DH为半径，分别以PH，AH为高的两个圆锥的组合体，即可求△PAD以PA为轴旋转所围成的几何体体积．

解答： （Ⅰ）证明：连接AC交BD于O，连接EO．
∵ABCD是正方形，∴O为AC中点，
∵已知E为PC的中点，
∴OE∥PA．…（2分）
又∵OE?平面BDE，PA?平面BDE，∴PA∥平面BDE．…（3分）
（Ⅱ）证明：在△DPC中，PD=PC=

2

2

DC，∴PD²+PC²=DC²，即DP⊥PC．…（4分）
又已知：平面PCD⊥底面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=DC，BC⊥DC；
∴BC⊥平面PDC，PD?平面PDC，∴PD⊥BC，…（6分）
BC与PC相交且在平面PBC内．
∴PD⊥平面PCB，PD?平面PDA，∴平面PDA⊥平面PCB．…（8分）
（Ⅲ）解：过D作PA的垂线．垂足为H，则几何体为以DH为半径，分别以PH，AH为高的两个圆锥
的组合体．…（9分）
侧棱PD⊥底面ABCD，∴PD⊥DA，PD=4，DA=DC=3，∴PA=5
DH=

PD•DA

PA

=

4×3

5

=

12

5

，…（10分
V=

1

3

πDH2•PH+

1

3

πDH2•AH=

1

3

πDH2•PA=

1

3

π×(

12

5

)2×5=

48

5

π
  …（12分）

点评：本题考查线面平行，面面垂直，考查几何体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面平行，面面垂直的判定是关键．