Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AB⊥侧面BB₁C₁C，AB=BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=

π

3

．
（1）求四棱锥A₁-BB₁C₁C的体积；
（2）求证：C₁B⊥平面ABC．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）利用锥体的体积公式，即可求解；
（2）证明C₁B⊥平面ABC，根据本题条件，需要证明BC₁AB⊥，由AB⊥侧面BB₁C₁C就可以解决；而要证明C₁B⊥BC，则需要通过解三角形来证明．

解答： （1）解：∵AB⊥侧面BB₁C₁C，且AB∥A₁B₁，∴四棱锥的高h=AB=1 …（2分）
又S_底面=2•

1

2

CB•CC1•sin∠C1CB=

3

…（4分）
∴四棱锥的体积为

1

3

•

3

•1=

3

3

…（6分）
（2）证明：在△BCC₁中，
∵BC=1，CC₁=2，∠BCC₁=

π

3

，
∴BC₁=

1+4-2•1•2• 1 2

=

3

，
∴∠CBC₁=90°，∴BC⊥BC₁，
∵AB⊥侧面BB₁C₁C，BC₁?面BB₁C₁C，
∴BC₁⊥AB，
∵AB∩BC=B，∴BC₁⊥平面ABC．…（12分）

点评：本题考查线面垂直、线线垂直，考查锥体体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面垂直的判定定理是关键．