Question

已知点P₀（x₀，y₀）在双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）内，求过P₀的弦中点的轨迹方程．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设弦的两端点分别为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），利用点差法，求过P₀的弦中点的轨迹方程．

解答： 解：设弦的端点为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），过P₀的弦中点为（x，y），则2x=x₁+x₂，2y=y₁+y₂，
M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），代入双曲线方程，
∴两式相减可得

2x(x1-x2)

a2

-

2y(y1-y2)

b2

=0，
∴

y-y0

x-x0

•

y

x

=

b2

a2

，
∴过P₀的弦中点的轨迹方程为

y-y0

x-x0

•

y

x

=

b2

a2

．

点评：本题考查直线与双曲线的位置关系的应用，是中档题．解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．