Question

某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为xcm，体积为Vcm³．在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V的最大值是多少？并求此时x的值．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：综合题,导数的概念及应用,空间位置关系与距离

分析：设正三棱锥侧面的高为h₀，高为h，求出正三棱锥体积，利用导数的方法求解即可．

解答： 解：正三棱锥展开如图所示．当按照底边包装时体积最大．
设正三棱锥侧面的高为h₀，高为h．
由题意得：

3

6

x+h₀=10，解得h₀=10-

3

6

x．…（2分）
则h=

h02- x2 12

=

100- 10 3 3 x

，x∈（0，10

3

）．             …（5分）
所以，正三棱锥体积V=

1

3

Sh=

1

3

×

3

4

x²×

100- 10 3 3 x

=

3 x2

12

100- 10 3 3 x

．                          …（8分）
设y=V²=

x4

48

（100-

10 3

3

x）=

100x4

48

-

10x5

48 3

，
求导得y′=

100x3

12

-

50x4

48 3

，令y′=0，得x=8

3

，…（10分）
当x∈（0，8

3

）时，y′＞0，y随着x的增加而增大，
当x∈（8

3

，10

3

）时，y′＜0，y随着x的增加而减小，
所以，当x=8

3

 cm时，y取得极大值也是最大值．                         …（12分）
此时y=15360，所以V_max=32

15

 cm³．
答：当底面边长为8

3

cm时，正三棱锥的最大体积为32

15

cm³．              …（14分）

点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，考查导数知识的运用，确定正三棱锥体积是关键．