Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d（b、c、d为常数），当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取极小值，则（b+

1

2

）²+（c-3）²的取值范围是（　　）

• A、（

  37

  2

  ，5）
• B、（

  5

  ，5）
• C、（

  37

  4

  ，25）
• D、（5，25）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：据极大值点左边导数为正右边导数为负，极小值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．

解答： 解：∵f（x）=x³+bx²+cx+d，
∴f′（x）=3x²+2bx+c，
∵函数f（x）在x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取极小值，
∴f′（x）=3x²+2bx+c=0在（0，1）和（1，2）内各有一个根，
∴f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0，
即

c＞0 3+2b+c＜0 12+4b+c＞0

，
在bOc坐标系中画出其表示的区域，如图，
（b+

1

2

）²+（c-3）²表示点A（-

1

2

，3）与可行域内的点连线的距离的平方，
点A（-

1

2

，3）到直线3+2b+c=0的距离为

|-1+3+3|

5

=

5

，
由12+4b+c=0与3+2b+c=0联立，可得交点为（-4.5，6），与点A（-

1

2

，3）的距离为5，
∴（b+

1

2

）²+（c-3）²的取值范围是（5，25），
故选：D．

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及会进行简单的线性规划的能力．