Question

3．已知直线y=x+1交椭圆${x^2}+\frac{y^2}{2}=1$于A、B两点，则弦AB的长为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$
• C． $\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据已知直线方程与椭圆方程，联立方程组，利用韦达定理，即可求解弦AB的长．

解答 解：由题意联立方程可得：可得$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+\frac{{y}^{2}}{2}=1\\ y=x+1\end{array}\right.$，
A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
消去y化简可得：3x²+2x-1=0，
解得x₁=-1，代入直线方程可得：y₁=0，
x₂=$\frac{1}{3}$，代入直线方程可得：y₂=$\frac{4}{3}$，
则弦AB的长：$\sqrt{{（\frac{1}{3}+1）}^{2}+{（\frac{4}{3}-0）}^{2}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$．
故选：C．

点评 本题主要考查了直线与椭圆的位置关系：相交，处理此类问题的一般方法是联立方程，通过方程的根与系数的关系进行求解．