Question

【题目】已知点P为椭圆C：1（a＞b＞0）上一点，F1，F2分别是椭圆C的左、右两个焦点，|PF1|＝2|PF2|，且cos∠F1PF2，过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点．

（1）求椭圆C的离心率；

（2）若点M（1，）在C上，求△MAB面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）．（2）3

【解析】

（1）由余弦定理得，与关系，求出，的比值即是离心率的值；（2）由题意设直线与椭圆联立求出弦长，再求到直线距离求出面积，再利用函数的单调性求出面积的最大值．

（1）在△PF1F2中，设|PF2|＝x，则|PF1|＝2x，cos∠F1PF2，

由余弦定理得，（2c）2＝x2+（2x）2﹣2x2xcos∠F1PF2＝5x2﹣4x2，

∴xc，2xc，所以2a＝x+2x＝4c∴e，

所以椭圆的离心率为．

（2）由（1）得：b2＝a2﹣c2＝3c2，椭圆的方程为：1，

点M在椭圆上，1，

∴c2＝1，b2＝3，a2＝4，

所以椭圆的方程为1．右焦点（1，0），

设直线l的方程：y＝k（x﹣1），A（x，y），B（x'，y'），

当k＝0时，|AB|＝2a＝4，M到l的距离为，S△MAB3，

当k≠0时，联立与椭圆的方程整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，

所以x+x'，xx'，

弦长|AB||x﹣x'|12，

M在直线l的距离d，

所以S△MAB|AB|d＝99，

设t=,

,分母是一个增函数（增函数+增函数=增函数），

所以是一个减函数，

所以93，

综上△MAB面积的最大值为3．