【题目】已知点P为椭圆C:1(a>b>0)上一点,F1,F2分别是椭圆C的左、右两个焦点,|PF1|=2|PF2|,且cos∠F1PF2,过点F2且斜率为k的直线l与椭圆C交于A,B两点.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若点M(1,)在C上,求△MAB面积的最大值.
【答案】(1).(2)3
【解析】
(1)由余弦定理得,与关系,求出,的比值即是离心率的值;(2)由题意设直线与椭圆联立求出弦长,再求到直线距离求出面积,再利用函数的单调性求出面积的最大值.
(1)在△PF1F2中,设|PF2|=x,则|PF1|=2x,cos∠F1PF2,
由余弦定理得,(2c)2=x2+(2x)2﹣2x2xcos∠F1PF2=5x2﹣4x2,
∴xc,2xc,所以2a=x+2x=4c∴e,
所以椭圆的离心率为.
(2)由(1)得:b2=a2﹣c2=3c2,椭圆的方程为:1,
点M在椭圆上,1,
∴c2=1,b2=3,a2=4,
所以椭圆的方程为1.右焦点(1,0),
设直线l的方程:y=k(x﹣1),A(x,y),B(x',y'),
当k=0时,|AB|=2a=4,M到l的距离为,S△MAB3,
当k≠0时,联立与椭圆的方程整理得(3+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0,
所以x+x',xx',
弦长|AB||x﹣x'|12,
M在直线l的距离d,
所以S△MAB|AB|d=99,
设t=,
,分母是一个增函数(增函数+增函数=增函数),
所以是一个减函数,
所以93,
综上△MAB面积的最大值为3.
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【题目】如图1,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中点,将△ADE沿AE折起,得到如图2所示的四棱锥D1—ABCE,其中平面D1AE⊥平面ABCE.
(1)证明:BE⊥平面D1AE;
(2)设F为CD1的中点,在线段AB上是否存在一点M,使得MF∥平面D1AE,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】在直角坐标系中,曲线C的方程为.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)求曲线C的参数方程和直线的直角坐标方程;
(2)若直线与轴和y轴分别交于A,B两点,P为曲线C上的动点,求△PAB面积的最大值.
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【题目】在直角坐标系中,曲线C的参数方程为 (其中为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系中,直线的极坐标方程为.
(Ⅰ)求C的普通方程和直线的倾斜角;
(Ⅱ)设点(0,2),和交于两点,求.
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【题目】某高校随机抽取部分男生测试立定跳远,将成绩整理得到频率分布表如表,测试成绩在220厘米以上(含220厘米)的男生定为“合格生”,成绩在260厘米以上(含260厘米)的男生定为“优良生”.
分组(厘米) | 频数 | 频率 |
[180,200) | 0.10 | |
[200,220) | 15 | |
[220,240) | 0.30 | |
[240,260) | 0.30 | |
[260,280) | 0.20 | |
合计 | 1.00 |
(1)求参加测试的男生中“合格生”的人数.
(2)从参加测试的“合格生”中,根据表中分组情况,按分层抽样的方法抽取8名男生,再从这8名男生中抽取3名男生,记X表示3人中“优良生”的人数,求X的分布列及数学期望.
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【题目】已知圆的圆心在直线: 上,与直线: 相切,且截直线: 所得弦长为6
(Ⅰ)求圆的方程
(Ⅱ)过点是否存在直线,使以被圆截得弦为直径的圆经过原点?若存在,写出直线的方程;若不存在,说明理由.
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【题目】已知圆过两点, ,且圆心在直线上.
(Ⅰ)求圆的标准方程;
(Ⅱ)直线过点且与圆有两个不同的交点, ,若直线的斜率大于0,求的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,是否存在直线使得弦的垂直平分线过点,若存在,求出直线的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,,平面平面,点为棱的中点.
(Ⅰ)在棱上是否存在一点,使得平面,并说明理由;
(Ⅱ)当二面角的余弦值为时,求直线与平面所成的角.
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