Question

15．己知函数f（x）=（x+l）lnx-ax+a （a为正实数，且为常数）
（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（2）若不等式（x-1）f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数f（x）的导数，问题转化为a≤lnx+$\frac{1}{x}$+1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），令g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1，（x＞0），根据函数的单调性求出a的范围即可；
（2）问题转化为（x-1）[（x+1）lnx-a]≥0恒成立，通过讨论x的范围，结合函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：（1）f（x）=（x+l）lnx-ax+a，f′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1-a，
若f（x）在（0，+∞）上单调递增，
则a≤lnx+$\frac{1}{x}$+1在（0，+∞）恒成立，（a＞0），
令g（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1，（x＞0），
g′（x）=$\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
故g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
故g（x）_min=g（1）=2，
故0＜a≤2；
（2）若不等式（x-1）f（x）≥0恒成立，
即（x-1）[（x+1）lnx-ax+a]≥0恒成立，
当0＜a≤2时，由（1）知，当x∈（0，﹢∞）时，f（x）单调递增．
又f（1）=0，当x∈（0，1），f（x）＜0；当x∈（1，﹢∞）时，f（x）＞0，故不等式（x-1）f（x）≥0恒成立．
若a＞2，对f（x）二次求导，令二次导函数=0，得到x₀＞1，当x∈（1，x₀）时，f（x）单调递减，
∴当x∈（1，x₀）时，f（x）＜f（1）=0，此时（x-1）f（x）＜0，矛盾，
综上所述，0＜a≤2．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，考查函数恒成立问题，是一道中档题．