Question

20．已知变量x，y满足$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4≥0}\\{x≤2}\\{x+y-2≥0}\end{array}\right.$则目标函数z=$\frac{x+y+3}{x+2}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． $\frac{5}{4}$
• D． 1

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义进行求解即可．

解答 解：目标函数z=$\frac{x+y+3}{x+2}$=1+$\frac{y+1}{x+2}$，
作出不等式组对应的平面区域如图：
则$\frac{y+1}{x+2}$的几何意义是区域内的点到定点D（-2，-1）的斜率，
由图象知BD的斜率最大，则由$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+4=0}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$得x=0，y=2，
即B（0，2），
此时BD的斜率k_BD=$\frac{2+1}{0+2}$=$\frac{3}{2}$，
∴目标函数z=$\frac{x+y+3}{x+2}$的最大值为1+$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
故选：A．

点评 本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义结合直线的斜率公式是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．