Question

5．2016年，某省环保部门制定了《省工业企业环境保护标准化建设基本要求及考核评分标准》，为了解本省各家企业对环保的重视情况，从中抽取了40家企业进行考核评分，考核评分均在[50，100]内，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出频率分布直方图如图（满分为100分）．
（Ⅰ）已知该省对本省每家企业每年的环保奖励y（单位：万元）与考核评分x的关系式为y=$\left\{\begin{array}{l}{-7，50≤x＜60}\\{0，60≤x＜70}\\{3，70≤x＜80}\\{6，80≤x＜100}\end{array}\right.$（负值为企业上缴的罚金），试估计该省在2016年对这40家企业投放环保奖励的平均值；
（Ⅱ）在这40家企业中，从考核评分在80分以上（含80分）的企业中随机抽取3家企业座谈环保经验，设X为所抽取的3家企业中考核评分在[80，90）内的企业数，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （I）由频率分布直方图可得：（0.020+0.025+0.040+a+0.005）×10=1，解得a．即可得出估计该省在2016年对这40家企业投放环保奖励的平均值．
（II）在区间[80，90）有4家，在区间[90，100）有2家．X的可能取值为1，2，3．P（X=k）=$\frac{{∁}_{4}^{k}{∁}_{2}^{3-k}}{{∁}_{6}^{3}}$，即可得出其分布列与数学期望．

解答 解：（I）由频率分布直方图可得：（0.020+0.025+0.040+a+0.005）×10=1，解得a=0.01．
∴估计该省在2016年对这40家企业投放环保奖励的平均值=-7×0.020×10+0×0.025×10+3×0.040×10+6×（0.01+0.005）×10=0.7（万元）．
（II）在区间[80，90）有4家，在区间[90，100）有2家．X的可能取值为1，2，3．
P（X=k）=$\frac{{∁}_{4}^{k}{∁}_{2}^{3-k}}{{∁}_{6}^{3}}$，P（X=1）=$\frac{4}{20}$=$\frac{1}{5}$，P（X=2）=$\frac{12}{20}$=$\frac{3}{5}$，P（X=3）=$\frac{4}{20}$=$\frac{1}{5}$．
可得X的分布列如下：

X	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

可得EX=$1×\frac{1}{5}+2×\frac{3}{5}+3×\frac{1}{5}$=2．

点评 本题考查了频率分布直方图的性质、超几何分布列的性质及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．