Question

15．已知三角形ABC中，B（-1，0），C（1，0），且|AB|+|AC|=4．
（Ⅰ）求动点A的轨迹M的方程；
（Ⅱ）P为轨迹M上动点，△PBC的外接圆为⊙O₁（O₁为圆心），当P在M上运动时，求点O₁到x轴的距离的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的定义可知：动点A的轨迹的轨迹为为以B，C为焦点的椭圆（y≠0），则c=1，a=2，b=$\sqrt{3}$，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）分别求得PB及BC的垂直平分线，联立，由P在椭圆上，$y=\frac{3}{{2{y_0}}}-\frac{y_0}{6}$，利用点到直线的距离公式，根据函数的单调性即可求得O₁到x轴的距离的最小值．

解答 解：（Ⅰ）根据题意知，动点A满足椭圆的定义，（1分）
设椭圆的方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0，且y≠0），
所以，有|F₁F₂|=|BC|=2c=2，|AF₁|+|AF₂|=|AB|+|AC|=2a=4，（2分）
且a²=b²+c²解得$a=2，b=\sqrt{3}$（3分）
所以，动点A的轨迹C满足的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1，（y≠0）$（4分）
没有写出约束条件的扣（1分）
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），不妨设$0＜{y_0}≤\sqrt{3}$
线段PB的垂直平分线方程为$y-\frac{y_0}{2}=-\frac{{{x_0}+1}}{y_0}（x-\frac{{{x_0}-1}}{2}）$（6分）
线段BC的垂直平分线方程为x=0，两条垂线方程联立求得
$y=（-\frac{{{x_0}+1}}{y_0}）（-\frac{{{x_0}-1}}{2}）+\frac{y_0}{2}=\frac{x_0^2-1}{{2{y_0}}}+\frac{y_0}{2}$（8分）
∵$\frac{x_0^2}{4}+\frac{y_0^2}{3}=1$∴$y=\frac{3}{{2{y_0}}}-\frac{y_0}{6}$（9分）
∴⊙O₁的圆心O₁到x轴的距离$d=|{\frac{3}{{2{y_0}}}-\frac{y_0}{6}}|$（10分）
又知$y=\frac{3}{{2{y_0}}}-\frac{y_0}{6}$在$（0，\sqrt{3}）$上是单调递减函数
∴当${y_0}=\sqrt{3}$时，${y_{min}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∴${d_{min}}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$（12分）

点评 本题考查椭圆的定义，直线的垂直平分线的求法，函数单调性与椭圆的应用，考查计算能力，属于中档题．