Question

3．已知直线l：x+2y-2=0．试求：
（1）点P（-2，-1）关于直线l的对称点坐标；
（2）直线l关于点（1，1）对称的直线方程．

Answer 1

分析 （1）设点P关于直线l的对称点为P'（x₀，y₀），则线段PP'的中点M在对称轴l上，且PP'⊥l，由此求出点P（-2，-1）关于直线l的对称点坐标；
（2）设直线l关于点A（1，1）的对称直线为l'，则直线l上任一点P（x₁，y₁）关于点A的对称点P'（x，y）一定在直线l'上，反之也成立，即可直线l关于点（1，1）对称的直线方程．

解答 解：（1）设点P关于直线l的对称点为P'（x₀，y₀），
则线段PP'的中点M在对称轴l上，且PP'⊥l．
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{{{y_0}+1}}{{{x_0}+2}}（-\frac{1}{2}）=-1\\ \frac{{{x_0}-2}}{2}+2•\frac{{{y_0}-1}}{2}-2=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{x_0}=\frac{2}{5}\\{y_0}=\frac{19}{5}\end{array}\right.$即P'坐标为$（\frac{2}{5}，\frac{19}{5}）$．
（2）设直线l关于点A（1，1）的对称直线为l'，则直线l上任一点P（x₁，y₁）关于点A的对称点P'（x，y）一定在直线l'上，反之也成立．由$\left\{\begin{array}{l}\frac{{x+{x_1}}}{2}=1\\ \frac{{y+{y_1}}}{2}=1\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}{x_1}=2-x\\{y_1}=2-y\end{array}\right.$．
将（x₁，y₁）代入直线l的方程得x+2y-4=0．
∴直线l'的方程为x+2y-4=0．

点评 本题考查直线方程，考查直线的对称性的运用，属于中档题．