Question

12．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ctanC=$\sqrt{3}$（acosB+bcosA）．
（1）求角C；
（2）若c=2$\sqrt{3}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理与和差公式即可得出．
（2）利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）ctanC=$\sqrt{3}$（acosB+bcosA），
由正弦定理可得：sinCtanC=$\sqrt{3}$（sinAcosB+sinBcosA）=$\sqrt{3}$sin（A+B）=$\sqrt{3}$sinC．
∴tanC=$\sqrt{3}$，C∈（0，π）．
∴C=$\frac{π}{3}$．
（2）由余弦定理可得：12=c²=a²+b²-2abcosC≥2ab-ab=ab，
可得ab≤12，当且仅当a=2$\sqrt{3}$时取等号．
∴△ABC面积的最大值=$\frac{1}{2}×12×sin\frac{π}{3}$=3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．