Question

4．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别是AA₁、CC₁的中点，AC∩BD=O，连接A₁D，A₁B，DF，BF，求证：BD⊥A₁F．

Answer 1

分析 由题意可证A₁O⊥BD，OF⊥BD，利用线面垂直的判定可证BD⊥平面A₁OF，进而利用线面垂直的性质即可证明得解．

解答 解：如图，连接，A₁O，A₁F，OF，
∵在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D=A₁B，O为BD的中点，
∴A₁O⊥BD，
又∵F是CC₁的中点，可得：DF=BF，
∴OF⊥BD，
又∵A₁O∩OF=O，
∴BD⊥平面A₁OF，
∵A₁F?平面A₁OF，
∴BD⊥A₁F．

点评 本题主要考查了线面垂直的性质，要证线线垂直，可找线面垂直，反之亦然．这是立体几何证明垂直时常用的转化方法．除此之外，也要注意有时是从数量关系通过计算找线线垂直，如勾股定理等，有时会利用平面几何的性质，如等腰三角形底边上的三线合一等等，属于中档题．